Les mathématiques constituent un système de pensée organisé en perpétuelle expansion. Indépendamment de leur intérêt en tant que domaine autonome de réflexion, elles sont utilisées en art (architecture), en sciences, en technique, en économie et dans presque tous les secteurs de l'activité humaine. Elles ont influencé, et parfois même déterminé, les différentes visions que l'homme s'est faites de son univers au cours de l'histoire. Elles ont non seulement reflété les évolutions des civilisations, mais aussi largement contribué à leur formation.

Le développement mathématique.

Les civilisations anciennes ont joué un grand rôle dans l'essor des mathématiques : il y a près de 6 000 ans, les Sumériens utilisaient déjà un système de numération à base 10, et un autre à base 60 (ce dernier, le système sexagésimal, reste employé de nos jours pour la mesure du temps et des angles) ; les fondateurs de la géométrie furent les Égyptiens, puis les Grecs ; la notion fondamentale du zéro a été introduite par les anciens Indiens.

Les mathématiques se sont développées dans trois directions principales. Les combinaisons de collections finies d'objets ont conduit aux concepts de nombre et de calcul : l'algèbre. La mesure et la description de l'espace ont abouti à la géométrie. Enfin, au XVII^e s., l'étude des notions de continuité et de limites a permis de développer l'analyse (ou calcul infinitésimal). Ces trois domaines, fort différents les uns des autres, se recoupent cependant en de nombreux points. Plus récemment, diverses branches nouvelles sont apparues : la théorie des ensembles, la logique, la topologie mathématique, le calcul des probabilités, etc.

Les mathématiques et le réel.

Les mathématiques ont été (notamment chez les Grecs) et sont souvent vues comme une démarche de déduction logique, à partir d'hypothèses abstraites. Mais Galilée postule, à la Renaissance, que les mathématiques peuvent permettre de comprendre le monde. Cette position est fondamentale pour la science moderne, mais n'oblige pas les objets mathématiques à avoir toujours un lien avec le réel.

La pensée mathématique est le résultat d'une opération de l'esprit qui consiste à substituer par abstraction une structure mentale (modèle mathématique) à une structure physique donnée. Les concepts mathématiques gagnent beaucoup à être représentés par des symboles géométriques, algébriques ou graphiques, sur lesquels on peut opérer facilement des transformations formelles.

La démonstration mathématique consiste à établir à partir de vérités mathématiques admises d'autres vérités plus complexes en utilisant les règles du raisonnement logique. La force de la créativité mathématique a souvent été la nécessité de résoudre certains problèmes pratiques mais aussi, comme chez les Grecs de l'Antiquité, la simple stimulation intellectuelle et le goût de la spéculation.