Chef de file d'une brillante école d'analystes, il a donné des fondements solides et rigoureux aux notions de limite d'une suite de nombres, de variable continue, etc. À cette occasion, il réussit à construire une fonction continue qui n'est dérivable en aucun point. Pour pallier l'absence de fondement logique de l'arithmétique, il élabora une théorie des nombres réels. Il développa considérablement la théorie des fonctions analytiques.
