Nature de la géométrie.

Étymologiquement, le mot « géométrie » signifie « mesure de la Terre ». Cette discipline a pour but initial l'étude des figures dans le plan et dans l'espace. Bien que celles-ci dérivent d'objets concrets, la géométrie s'est très tôt refusé l'usage de méthodes expérimentales. Elle s'est au contraire évertuée à réduire les figures à une version idéale des objets réels (le point, qui n'a pas de parties ; la droite, qui est semblable à elle-même en tous ses points). Elle fait aussi appel à un mode de démonstration qui n'utilise ni l'observation ni la mesure, mais qui fonctionne par postulats et conséquences.

La géométrie de l'Antiquité.

Les Égyptiens et les Babyloniens ont eu une géométrie largement empirique, mais avec les Grecs s'est construite une véritable science de l'espace. L'œuvre la plus parfaite de cette science est constituée par les Éléments d'Euclide. Ainsi, parmi les treize livres, les quatre premiers sont consacrés au plan ; le sixième traite des équations du 2^e degré dans une langue géométrique complètement différente de celle d'aujourd'hui ; le livre X étudie les grandeurs irrationnelles, abordées d'un point de vue géométrique ; enfin, les livres XI, XII et XIII concernent la géométrie dans l'espace. Certains fondements de cette synthèse (en particulier le postulat des parallèles) ne seront pas remis en cause avant le XIX^e s.

Archimède étudie les corps solides ignorés en partie par Euclide. Il établit les propriétés stéréométriques de nombreux volumes. Apollonios de Perga découvre les sections planes du cône et crée les mots ellipse, hyperbole et parabole.

Les géométries modernes.

Avec Descartes, au XVII^e s., qui utilise un mode de représentation fondé sur les coordonnées numériques, tout problème de géométrie plane se ramène à une succession d'équations. Cette démarche, dite géométrie analytique, connaît un grand essor. Au XVIII^e s., elle s'élargit à l'espace à trois dimensions et à la théorie des surfaces. Toutefois, cette écriture s'éloigne de la signification intuitive des figures, telle qu'elle émergeait dans la géométrie pure, encore appelée par opposition géométrie synthétique.

Au cours du XIX^e s., on assiste à un retour de l'approche synthétique avec la géométrie projective, qui donne un contenu mathématique aux techniques de représentation explorées par les artistes depuis la Renaissance (perspective, etc.). Dans cette voie, des mathématiciens comme Chasles montrent l'importance du rôle des transformations, qui déforment les figures point par point, tout en en conservant certaines propriétés.

La découverte des géométries non euclidiennes par Gauss, Lobatchevski ou Riemann contribue à une nouvelle diversification de cette discipline et remet en question l'idée de distance.